K近邻算法（K-Nearest Neighbors, KNN）是一种基础且广泛应用的机器学习算法。其主要思想是在特征空间中找到距离待预测点最近的K个已知数据点（即“近邻”），并基于这些近邻点的信息来预测目标点的属性。KNN算法简单直观，易于实现，且不需要任何假设，但计算成本随数据量增加而显著上升。
KNN的关键在于如何快速有效地找到最近邻点。为了提高搜索效率，可以使用多种数据结构，其中一种有效的结构是Kd树（K-dimensional tree）。Kd树是一种特别为多维空间数据设计的树形数据结构，用于划分空间以便更快地检索邻近点。
Kd树的构建过程如下：
- 选择轴：选择一个维度作为“轴”（通常是方差最大的维度，以此来保证树的平衡）。
- 分割数据：在选定的轴上找到中位数，以此点将数据集分为两个子集。
- 递归构建：对每个子集重复上述步骤，直到每个子节点只包含一个数据点或达到预定的深度限制。
在使用Kd树进行邻近点搜索时：
- 向下搜索：从根节点开始，根据目标点的坐标在每个节点上选择向左或向右移动，直到达到叶节点。
- 向上回溯：从叶节点开始回溯到根节点，检查其他子树中是否存在更近的邻居。如果当前最近邻居的距离大于目标点到分割平面的距离，那么可能在另一侧子树中找到更近的点。
使用Kd树可以显著提高KNN算法在高维数据中的搜索效率。但是，当数据维度非常高时，Kd树的效率会降低，这是由于“维度的诅咒”造成的。在这种情况下，可能需要考虑其他算法或数据结构。
要在Python中实现K近邻算法及其Kd树版本，我们可以按照以下步骤进行：
- 定义Kd树的节点：创建一个类来表示Kd树的节点。每个节点包含数据点、切分的维度、以及左右子树的引用。
- 构建Kd树：编写一个函数来递归地构建Kd树。从整个数据集开始，选择一个维度，并在该维度上找到中位数来划分数据集，然后对每个子集重复这个过程。
- 搜索最近邻：实现一个函数来搜索Kd树，找到最近的邻居。这需要遍历树，找到叶节点，然后回溯并检查其他可能的最近邻。
- 实现KNN算法：使用Kd树结构，编写一个函数来执行KNN算法。对于一个给定的查询点，找到距离它最近的K个点，并根据需要进行分类或回归。
下面是这个过程的简化代码实现：
import numpy as np
class KdNode:
def __init__(self, point=None, split=None, left=None, right=None):
self.point = point
self.split = split
self.left = left
self.right = right
class KdTree:
def __init__(self, data):
k = len(data[0]) # 数据维度
def create_node(split, data_set):
if not data_set:
return None
data_set.sort(key=lambda x: x[split])
median = len(data_set) // 2
node = KdNode(data_set[median], split)
next_split = (split + 1) % k
node.left = create_node(next_split, data_set[:median])
node.right = create_node(next_split, data_set[median + 1:])
return node
self.root = create_node(0, data)
def find_nearest(tree, point):
k = len(point) # 数据维度
def travel(kd_node):
if kd_node is None:
return float('inf'), None
axis = kd_node.split
if point[axis] < kd_node.point[axis]:
next_branch = kd_node.left
opposite_branch = kd_node.right
else:
next_branch = kd_node.right
opposite_branch = kd_node.left
dist, nearest = travel(next_branch)
cur_dist = np.linalg.norm(np.array(point) - np.array(kd_node.point))
if cur_dist < dist:
nearest = kd_node.point
dist = cur_dist
if abs(point[axis] - kd_node.point[axis]) < dist:
tmp_dist, tmp_nearest = travel(opposite_branch)
if tmp_dist < dist:
nearest = tmp_nearest
dist = tmp_dist
return dist, nearest
return travel(tree.root)[1]
# 示例数据
data = [[2, 3], [5, 4], [9, 6], [4, 7], [8, 1], [7, 2]]
kd_tree = KdTree(data)
point = [3, 4.5]
nearest = find_nearest(kd_tree, point)
print("Nearest point to", point, "is", nearest)
