在现代数据科学中，许多数据结构都可以表示为图，如互联网、社交网络等。这些图结构中的数据为机器学习提供了丰富的理论和应用场景。其中，PageRank 算法是图链接分析的经典代表，它是图数据上的无监督学习方法的典范。
PageRank 算法最初由 Larry Page 和 Sergey Brin 在 1996 年提出。这个算法的诞生背后有一个有趣的故事。当时，两人都是斯坦福大学的研究生，他们认为互联网上的链接结构可以为页面的重要性提供线索。这与当时主流的基于关键词的搜索方法形成了鲜明的对比。他们的这一洞察力不仅为他们赢得了学术界的赞誉，更为他们后来创建的 Google 搜索引擎奠定了基础。
尽管 PageRank 最初是为互联网页面设计的，但其核心思想可以广泛应用于任何有向图结构。事实上，随着时间的推移，PageRank 已被用于多种应用，如社会影响力分析、文本摘要生成等。
PageRank 的核心思想是基于有向图上的随机游走模型，这是一个一阶马尔可夫链。该模型描述了一个随机游走者如何沿着图的边随机移动，从一个节点访问到另一个节点。在满足某些条件的前提下，这个随机游走过程最终会收敛到一个平稳分布。在这个平稳分布中，每个节点被访问的概率即为其 PageRank 值，这个值可以被解释为节点的重要性。值得注意的是，PageRank 是递归定义的，这意味着一个页面的 PageRank 值部分地取决于链接到它的其他页面的 PageRank 值。因此，计算 PageRank 值通常需要迭代方法。
1. PageRank的定义
1.1 基本想法
在互联网的早期历史中，PageRank 算法被引入作为一种评估网页重要性的方法。简而言之，PageRank 是一个定义在整个网页集合上的函数，为每个网页分配一个正实数，代表该网页的重要性。这些数值组成一个向量，其中较高的 PageRank 值意味着该网页在重要性上的优势，因此在搜索结果中可能会被优先显示。
可以将整个互联网视为一个巨大的有向图，其中每个网页是一个节点，而超链接则是从一个页面指向另一个页面的有向边。基于这个视角，我们可以构建一个随机游走模型，也就是一阶马尔可夫链。在这个模型中，我们假设一个虚拟的网页浏览者会随机地、按照等概率地跟随一个页面上的任何一个超链接到另一个页面，并持续这种随机跳转。在长时间内，这种随机跳转的行为会形成一个稳定的模式，即马尔可夫链的平稳分布。每个网页的 PageRank 值，实际上就是在这个平稳分布中的概率。
举一个简单的例子：假设有三个网页 A、B 和 C。A 链接到 B 和 C，B 只链接到 C，而 C 只链接到 A。在随机游走模型中，从 A 出发的浏览者有 50% 的概率跳转到 B 或 C；从 B 出发的浏览者会 100% 跳转到 C；而从 C 出发的浏览者则会 100% 跳转到 A。经过多次迭代，我们会发现 C 的 PageRank 值可能会比 A 和 B 都高，因为它接收到了 A 和 B 的流量。这就是 PageRank 如何帮助我们量化网页重要性的简化示例。
直观上，一个网页，如果指向该网页的超链接越多，随机跳转到该网页的概率也就越高，该网页的PageRank值就越高，这个网页也就越重要。一个网页，如果指向该网页的PageRank值越高，随机跳转到该网页的概率也就越高，该网页的PageRank值就越高，这个网页也就越重要。PageRank值依赖于网络的拓扑结构，一旦网络的拓扑(连接关系)确定，PageRank值就确定。
PageRank 的计算可以在互联网的有向图上进行，通常是一个迭代过程。先假设一 个初始分布，通过迭代，不断计算所有网页的PageRank值，直到收敛为止。
下面首先给出有向图及有向图上随机游走模型的定义，然后给出PageRank的基本定义，以及PageRank的一般定义。基本定义对应于理想情况，一般定义对应于现实情况。
1.2 有向图和随机游走模型
1.2.1 有向图
有向图（Directed Graph）是图论中的一个基本概念，由节点（Vertices）和有向边（Directed Edges or Arcs）组成。在有向图中，每条边都有一个起始节点和一个终止节点，表示方向从起始节点指向终止节点。
有向图G可以定义为一个二元组G=(V, E)，其中：
- V是一个非空的有限集合，代表图中的节点。
- E是一个有序对的子集，即 E \subseteq V \times V，代表图中的有向边。对于每一条有向边(u, v)，其中u是起始节点，v是终止节点。
在互联网中，每个网页可以被视为有向图中的一个节点。当一个网页中包含指向另一个网页的超链接时，可以将这个超链接视为从第一个网页（起始节点）指向第二个网页（终止节点）的有向边。
例如，假设我们有三个网页：A、B 和 C。
- 网页 A 包含指向网页 B 和网页 C 的链接。
- 网页 B 包含指向网页 C 的链接。
- 网页 C 包含指向网页 A 的链接。
在这个例子中，我们可以将这三个网页视为有向图的三个节点，而它们之间的超链接关系构成了有向边。因此，有向图的边集合为：E = \{(A, B), (A, C), (B, C), (C, A)\}。
下图是一个周期性有向图的例子。从结点A出发返回到A，必须经过路径A-B-C-A，所有可能的路径的长度都是3的倍数，所以结点A是周期性结点，这个有向图是周期性图。
1.2.2 随机游走模型
给定一个含有n个结点的有向图，在有向图上定义随机游走（random walk）模型，即一阶马尔可夫链，其中结点表示状态，有向边表示状态之间的转移，假设从一个结点到通过有向边相连的所有结点的转移概率相等。具体地，转移矩阵是一个n阶矩阵
M=[m_{ij}]_{n \times n}\tag{1}第i行第j列的元素m_{ij}取值规则如下：如果结点j有k个有向边连出，并且结点i是其连出的一个结点，则m_{ij}=1/k；否则m_{ij}=0。
注意转移矩阵具有性质：
m_{ij} \ge 0 \tag{2} \sum\limits_{i = 1}^n {{m_{ij}} = 1} \tag{3}即每个元素非负，每列元素之和为1即矩阵M为随机矩阵（stochastic matrix）。
在有向图上的随机游走形成马尔可夫链。也就是说，随机游走者每经一个单位时间转移一个状态，如果当前时刻在第i个结点（状态），那么下一个时刻在第j个结点（状态）的概率是m_{ij}这一概率只依赖于当前的状态，与过去无关，具有马尔可夫性。
1.3 PageRank的基本定义
给定一个包含n个结点的强连通且非周期性的有向图，在其基础上定义随机游走模型。假设转移矩阵为M，在时刻0,1,2, \cdots ,t, \cdots，访问各个结点的概率分布为
{R_0},M{R_0},{M^2}{R_0}, \cdots ,{M^t}{R_0}, \cdots\tag{4}则极限
\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {M^t}{R_0} = R\tag{5}存在，极限向量R表示马尔可夫链的平稳分布，满足
MR=R\tag{6}平稳分布R称为这个有向图的 PageRank。 R的各个分量称为各个结点的PageRank值。
R=\left[\begin{array}{c} P R\left(v_{1}\right) \\ P R\left(v_{2}\right) \\ \vdots \\ P R\left(v_{n}\right) \end{array}\right]其中
P R\left(v_{i}\right)=\sum_{v_{j} \in M\left(v_{i}\right)} \frac{P R\left(v_{j}\right)}{L\left(v_{j}\right)}, \quad i=1,2, \cdots, n\tag{7}这里M(v_i)表示指向结点v_i的结点集合，L(v_j)表示结点v_j连出的有向边的个数。
1.4 PageRank的一般定义
为了考虑到用户不仅会通过点击链接来浏览网页，还可能随机选择一个网页。因此需要在基本定义的基础上导入平滑项阻尼因子。阻尼因子d取值由经验决定，例如d=0.85。当d接近1时，随机游走主要依照转移矩阵M进行；当d接近0时，随机游走主要以等概率随机访问各个结点。
\begin{align} R& = (dM+\frac {1-d} n \mathbf E)R\\ & = dMR+\frac {1-d} n \mathbf 1 \end{align}\tag{8}也就是
P R\left(v_{i}\right)=d\left(\sum_{v_{j} \in M\left(v_{i}\right)} \frac{P R\left(v_{j}\right)}{L\left(v_{j}\right)}\right)+\frac{1-d}{n}, \quad i=1,2, \cdots, n\tag{9}2. PageRank的实现
实现 PageRank 算法的一个简单方法是使用 Python 和 NumPy。以下是一个基本的 PageRank 实现：
这个实现使用了迭代方法来计算 PageRank。M 是转移概率矩阵，其中 M[i][j] 是从页面 j 到页面 i 的转移概率。
注意：在实际应用中，网页的数量可能非常大，因此可能需要更高效的方法和数据结构来处理大规模的数据。此外，为了确保 M 是随机矩阵，可能需要进行一些预处理步骤，例如处理挂起节点（没有出链的节点）。
